شکل ۲ توزیع دو طرفۀ گاوسی را به عنوان تراکم احتمال نشان می‌دهد. محور X انحراف از میانگین در واحد انحراف استاندارد است.  انحراف استاندارد، یک انحراف خاص از میانگین (در این مورد میانگین صفر) را تعریف می‌کند که در درصد معینی از زمان انتظار می‌رود. این بدان معناست که اگر فرآیندی دارای این توزیع باشد، ۶۸.۲٪ از مواقع این مقدار بین ۱- و ۱+،  ۹۵.۵٪ از مواقع بین ۲- و ۲+ و ۹۹.۷٪ از مواقع بین ۳- و ۳+ قرار می­گیرد.

با این تعریف دقت در مدل بالا می توانیم برای پرتابه مورد تست خود انحراف استاندارد از مسیر پرواز واقعی را بصورت زاویه در MOA محاسبه کنیم .

شکل ۳: زاویۀ انحراف شات

شکل ۳ زاویۀ انحراف را به شکل انحراف از مسیر مستقیم نشان می‌دهد. ما امیدوار هستیم مدل خود را به گونه‌ای تعریف کنیم که این زاویۀ انحراف (زاویۀ مخروطی) دارای توزیع نشان داده شده در شکل ۲ باشد و هر شات با یک زاویۀ تصادفی با احتمال برابر در مسیر عالی (زاویۀ ساعت) خارج شود. شکل ۴ این تعریف را نشان می‌دهد.

شکل ۴: تعریف زاویۀ مخروط و زاویۀ ساعت

از آنجا که اکثر تیراندازان از بیشترین فاصلۀ بین دو شات در یک گروپ خاص استفاده می‌کنند، باید انحراف استاندارد زاویه‌ای (زاویۀ مخروطی) مدل خود را به عنوان انحراف استاندارد دو طرفه تعریف کنیم. این بدان معناست که انحراف استاندارد زاویۀ مخروطی که در شکل ۴ نشان داده شده است، نصف انحراف زاویۀ مورد نظر خواهد بود. به عنوان مثال، اگر تفنگ فرضی ما یک انحراف استاندارد دو طرفه به اندازۀ یک MOA داشته باشد، پس ۶۸.۲٪ از مواقع شات در داخل یک دایره به قطر یک اینچ در فاصلۀ ۱۰۰ یاردی، در مرکز میانگین واقعی POI قرار می‌گیرد.

شبیه‌سازی و برخی نتایج

یک برنامۀ Matlab نوشته شد که ۱۰۰۰۰۰ شات از یک تفنگ با یک MOA  انحراف دو طرفۀ استاندارد از زاویۀ مخروط، به سمت هدفی در فاصلۀ ۱۰۰ یادری را شبیه ­سازی کرده بود. سپس این شبیه‌سازی گروپ‌های بسیاری از N شات از مجموع ۱۰۰۰۰۰ شات تشکیل داد و بیشترین فاصله از مرکز به مرکز در هر گروه از N شات را محاسبه و ثبت کرد.  N بین ۲ تا ۲۰ شات بود. سپس میانگین اندازه‌های گروپ ضبط شده برای هر N را محاسبه کرد و متوسط ​​اندازۀ گروپ برای یک گروپ N تایی به دست آورد. به عنوان مثال، با توجه به ۱۰۰۰۰۰ شات، ۵۰۰۰ شات گروپ ۲۰ تایی وجود داشت. این باعث شد ۵۰۰۰ محاسبۀ اندازۀ گروپ و یک مقدار میانگین اندازۀ گروپ برای یک گروپ ۲۰ تایی حاصل شود.

شکل ۵ یک هدف شبیه‌سازی شده را پس از ۲۵۰ شات نشان می‌دهد. حلقه‌ها ۰.۵ اینچ فاصله دارند. توجه داشته باشید که اکثر شات­ها در یک دایرۀ یک اینچی قرار می‌گیرند، اما فقط تعداد کمی از آنها بیش از یک اینچ با میانگین ​​POI فاصله دارند. در حقیقت، بیشترین برخوردها با نواحی مرکزی هدف صورت می‌گیرد و برخورد با لبه‌های هدف بسیار کمتر است.

شکل ۵: هدف شبیه‌سازی شده پس از ۲۵۰ شات

یک بافت‌نگار(هیستوگرام) که توزیع پانچ های شات در شرایط فوق را نشان می‌دهد بسیار جالب است و در شکل ۶ نشان داده شده است. نوک نیزه به وضوح نشان می‌دهد که یک شات به احتمال زیاد در مرکز فرود می‌آید، و احتمال شات­های دور از مرکز بسیار کمتر است. این نتیجه به وضوح نشان می‌دهد که یک تیرانداز می‌تواند دو یا سه گروپ با اندازۀ کوچک (به عنوان مثال ۰.۵ اینچ) شلیک کند و سپس یک گروپ ۳ تایی دیگر شلیک کند که دو شات بسیار نزدیک به یکدیگر قرار بگیرند و یک شات در فاصلۀ یک اینچ یا بیشتر فرود بیاید. این توزیع تنها احتمال برخورد یک شات با نقطه‌ای دور از مرکز را نشان می‌دهد، نه احتمال فرود گروهی از شات­ها در یک فاصلۀ خاص. این امر دلیل «پروازهای – flyers» نامعلوم از یک تفنگ تیراندازی خوب را شرح می‌دهد. اینها «پروازهای» واقعی نیستند، به این معنی که فرآیندی غیر از انحراف زاویۀ توزیع شدۀ معمول مانند تاج آسیب دیده یا همان damaged crown ، ساچمه نامتعادل، باعث واگرایی قابل توجه آنها شده باشد، بلکه این واگرایی نتیجۀ ویژگی‌های توزیع زاویه‌ای در گروپ آنها است.

به طور شهودی سه شات نمی تواند برای نمونۀ و تعیین دقیق توزیع واقعی یک تفنگ یا فشنگ کافی باشد. درس در اینجا این است که شات‌های بسیاری شلیک کنیم، معمولاً در گروپ‌های متعدد پنج تایی، و میانگین آنها را برای به دست آوردن جمع کل محاسبه کنیم. این که چه تعداد شات برای ایجاد یک برآورد دقیق لازم است، نیازمند یک تحلیل ریاضی عمیق‌تر از مدل آماری اصولی است و موضوع مقالۀ آتی خواهد بود.

بر اساس این نتیجه‌گیری، نویسنده از ۴ گروپ ۵ شاتی برای آزمایش نهایی تفنگ استفاده می‌کند.

شکل ۶: توزیع POI هدف برای ۱۰۰۰۰۰ شات

حال که یک تفنگ عالی با MOA یک را شبیه‌سازی کردیم، چطور اندازۀ گروپ سنجیده شده برای تعداد خاصی شات در هر گروپ با دقت یک MOA تطبیق پیدا می­کند؟ میانگین اندازۀ گروپ سنجیده شده برای گروپ‌های ۲ تا ۲۰ شات در شکل ۷ نشان داده شده است.

شکل ۷: میانگین اندازۀ گروپ به عنوان تابع تعداد شات‌ها در هر گروپ، تفنگ استاندارد یک MOA در ۱۰۰ یاردی

توجه داشته باشید که اگر از گروپ سه تایی برای تعیین دقت واقعی استفاده کنید، به اندازۀ میانگین گروپ ۰.۸۶۳ اینچ برای تفنگ یک MOA خواهید رسید. به عبارت دیگر، شما باید میانگین اندازۀ گروپ را به اینچ محاسبه کنید و در Correction Factor جدول ۱ ضرب کنید تا دقت MOA واقعی برای تفنگ را بدست آورید. به خاطر داشته باشید که این مثال یک هدف در ۱۰۰ یاردی را در نظر می‌گیرد. برای دامنه‌های غیر از ۱۰۰ یارد، می‌توان مقادیر حاصل از محاسبۀ اندازۀ گروپ را پس از اصلاح توسط عوامل جدول ۱ با نسبت دامنۀ واقعی به استاندارد دامنۀ ۱۰۰ یاردی مقیاس‌بندی کرد. یک روش نسبتاً دقیق برای انجام این اندازه‌گیری بدون محاسبه، استفاده از شات گروپ‌های  ۴ تایی است، زیرا عامل اصلاح به عدد یک نزدیک‌تر است (۰.۹۷۹).